限与界

• 我们这里给出一个很严格的阐述来区分限(finite/infinite)和界(bound/unbounded)

• 限主要针对个数来讲

  • 集合的基数，我们用 有限和无限 来说明
  • 集合元素特征涉及到个数，我们用 有限和无限 来说明

• 界主要针对大小来讲

  • 集合中元素的大小，我们用 有界无界 来说明

• 集合论中对有限和无限的定义

  • [ZF 集合论]
    • 一个集合 A 称为 有限集 (finite set),若存在某个自然数 \(n \in \mathbb{N}\),使得 A 与集合\(\{1,2,\ldots,n\}\)存在双射 (bijection)
    • 当集合A不是有限集时，便是无限集
  • 如果集合 A存在一个真子集 \(B \subsetneq A\)， 并且存在双射 \(f: A \to B\)，则称 A 是 Dedekind infinite

• 对于整数来讲

  • 整数集的所有整数的位数是有限的，但是集合是无界的，其基数是无限的
  • 整数的位数有限是由它的定义决定的
    • 数学上，整数（ℤ）是通过皮亚诺公理（Peano axioms） 定义的自然数及其相反数：\(\mathbb{Z} = \{ 0, \pm1, \pm2, \pm3, \ldots \}\).每个整数都可以用有限次加 1 操作从 0 得到
    • 整数的定义就像一个动态的生成器，总会有更大的元素
  • 关键的洞见
    • 由有限特征元素构成的集合 不一定有界且基数不一定finite
    • 当我们说一个东西有限(有限位数、有限长度、有限行、有限条边等)时，其构成的集合 不一定有界且基数不一定finite
    • 有限位数 ≠ 有限种位数

• 集合限与界小结

  • 界 --> 限
    • 无法从集合的界信息推知基数限信息
  • 限 --> 界
    • 无法从集合基数的限信息推知集合的界信息，除非是在实数域上(不考虑无穷),这样有有限必有界的推断
  • 元素 --> 集合
    • 集合元素有有限特征，无从得知集合的任何界与限的知识
  • 其实集合的限一般不是特别重要，更为重要的是Countable/Uncountable的性质

• 总之，数学界对该项的讨论都还很多，我们只需要把握住 Countable/Uncountable 就好了，明白集合之间的基数关系如何推就行了，并且知道 ==由有限特征元素构成的集合 不一定有界且基数不一定finite==就好

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